“不给力啊,老湿!”:RSA加密与破解

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

加密和解密是自古一定会 技术了。一直 看得人侦探电影的桥段,勇敢又机智的主角,拿着一长串毫无意义的数字苦恼,忽然灵光一闪,翻出一本厚书,将第另另有一个数字对应页码数,第有一个数字对应行数,第另另有一个数字对应那一行的某个词。数字变成了一串非常有意义说说:

Eat the beancurd with the peanut. Taste like the ham.

主角喜极而泣……

这人加密法子是将可是的某种信息按照某个规律打乱。某种打乱的法子就叫做密钥(cipher code)。发出信息的人根据密钥来给信息加密,而接收信息的人利用相同的密钥,来给信息解密。就好像另另有一个带锁的盒子。发送信息的人将信息装进去盒子里,用钥匙锁上。而接受信息的人则用相同的钥匙打开。加密和解密用的是同另另有一个密钥,这人加密称为对称加密(symmetric encryption)。

不可能 一对一说说,这么 两人需用交换另另有一个密钥。一对多说说,比如总部和多个特工的通信,依然能只能使用同一套密钥。但这人清况 下,对手偷到另另有一个密钥说说,就知道所有交流的信息了。二战中盟军的情报战成果,什么都有有有都来自于破获这人对称加密的密钥。

二战中德军的传奇加密机:Enigma

为了更安全,总部需用给每个特工都设计另另有一个不同的密钥。不可能 是FBI可是庞大的机构,恐怕这么维护这么 多的密钥。在现代社会,每所有人的信用卡信息都需用加密。一一设计密钥说说,银行怕是要跪了。

对称加密的薄弱之发生于给了陷得人的钥匙。不可能 只给特工锁,而总部保有钥匙,那就容易了。特工将信息用锁锁到盒子里,谁也打不开,除非到总部用唯一的一把钥匙打开。可是可是说说,特工每次出门一定会 带上或多或少锁,太容易被识破身份了。总部老大想了想,干脆就把造锁的技术公开了。特工,不可能 任何其它人,能只能就地取材,按照图纸造锁,但无法根据图纸发明人人钥匙。钥匙只能总部的那一把。

后边的关键是锁和钥匙工艺不同。知道了锁,并只能知道钥匙。可是,银行能只能将“造锁”的法子敲定给所有用户。每个用户能只能用锁来加密所有人的信用卡信息。即使被别人窃听到,可是用担心:只能银行才有钥匙呢!可是某种加密算法叫做非对称加密(asymmetric encryption)。非对称加密的经典算法是RSA算法。它来自于数论与计算机计数的奇妙结合。

为了了解RSA加密,请听另另有一个卧底的自白:

RSA加密

我是潜伏在龙凤大酒楼的卧底。想让下面信息以加密的法子发送到总部:

A CHEF HIDE A BED

厨子藏起来了一张床!这是这么 的重要,需用立即通知总部。千万重要的是,只能让反革命的厨子知道。

第一步是转码,也可是将英文转上加某个对应的数字。这人对应很容易建立,比如:

A B C D E F G H I
1 2 3 4 5 6 7 8 9

将后边的信息转码,获得下面的数字序列:



A CHEF HIDE A BED 1 3856 8945 1 254

这串数字完全没哪些地方地方秘密可言。厨子发现了这串数字可是,很容易根据数字顺序,对应字母表猜出来。

为了和狡猾的厨子斗智斗勇,朋友需用对这串数字进一步加密。使用总部发给朋友的锁,另另有一个数字:3和10。朋友分为两步补救。

第一步是求乘方。第另另有一个数字是3,也可是说,总部指示朋友,求后边数字串的3次方:

原字符串: 1   3   8   5   6   8   9   4   5   1   2   5   4

三次乘方: 1  27 512 125 216 512 729  64 125   1   8 125  64

第二步是求余数。第有一个上锁的数字是10,将后边每个三次乘方除以10,获得其余数:

余数: 1 7 2 5 6 2 9 4 5 1 8 5 4

将这串数字发回总部。中途被厨子偷看得人,但一时只能了解其中的意思。不可能 还是像刚才一样对应字母表说说,信息是:

AGBEFBIDEAHED

这串字母完全不蕴含正常的单词。

信息到了总部。总部现在开始了了英文用神奇的钥匙来解读。这人钥匙是3。(偷偷告诉你的,别告诉厨子。)

(这里钥匙不小心和可是锁中的另另有一个数字相同。这可是巧合。)

解锁过程也是两步。第一步求钥匙次的乘方,即3次方。第二步求它们除以10(锁之一)的余数。

加密信息:1   7   2   5   6   2   9   4   5   1   8   5   4

三次乘方:1 343   8 125 216   8 729  64 125   1 512 125  64 (这里用的是钥匙的“3”)

除十得余:1   3   8   5   6   8   9   4   5   1   2   5   4

正是朋友发送的信息。对应字母表,总部能只能立即知道可是的信息。

特工练习

再次强调,为了演示方便,选取了简单的锁和钥匙。锁和钥匙可是凑巧相同。为此,朋友做另另有一个小练习。

练习:总部新敲定出来的锁是2987(次乘方)和3937(为除数)。

1) 作为特工,用后边的算法为信息加密(你不可能 需用或多或少编程来计算,尝试用Python的数学计算功能?)。

猜到钥匙是哪些地方了呢?一定会 后边另另有一个数字中的任何另另有一个,可是143!

2) 作为值班人员,验证143是钥匙,能只能解密信息。

为了简便,我应该 只检验另另有一个简单的信息,比如“IE”。

下面是我根据这人练习写的另另有一个Python小系统tcp连接。这里的转码用的是ASCII编码标准,而一定会 后边的A对应1,B对应2。

# By Vamei

#==== Agent ========
# coding covert: string to number
# By ASCII convention
def convert(original):
    return map(ord, original)

# the input is a list of integers
def encrypt(input_list):
    f = lambda x: (x**2987)%3937
    return map(f, input_list)

#==== Headquarter =====
# the input is the result of the encrypt function
def decrypt(encrypted_list):
    f = lambda x: (x**143)%3937
    return map(f, encrypted_list)

# convert numbers back to a string
def inv_convert(decrypt_list):
    f = lambda x: str(unichr(x))
    result = map(f, decrypt_list)
    return "".join(result)

# Test
message = "Go to hell!"
secret = encrypt(convert(message))
print(secret)
public = inv_convert(decrypt(secret))
print(public)

费马与欧拉

发觉所有人被愚弄了,厨子很生气,后果很严重。厨子发奋看得人书,知道了这人加密法子叫RSA,是三为伟大的发明人人 R. Rivest, A. Shamir和L. Adelman名字首字母合起来的。RSA算法是1977年发明人人的。全称是RSA Public Key System。这人"Public Key"是公共密钥,也可是朋友后边说的锁。再读下去,厨子大窘。这人1977年的,现代计算机加密的RSA算法,简直源于17世纪。

1. 费马小定律

RSA的原理借助了数论中的“欧拉定理”(Euler's theorem)。17世纪的费马首先给出另另有一个该定理的特殊形式,即“费马小定理”:

p是另另有一个正的质数,a是任意另另有一个只能被p整除的整数。这么 ,[$a^{p-1} - 1$]能被p整除。

朋友并不需用陷得入了解费马小定理,不可能 等下就会看得人这人定理的“升级版”。但这人定理依然很美妙,它优美的得到乘方和整除的某种特殊关系。使用另另有一个例子来说明它。比如[$p = 7,a = 3$]。这么 费马小定律表示,[$3^{ 7 - 1} - 1$]能只能被7整除。

事实上,后边的数字计算得到[$3^6 - 1 = 728$],它着实能只能被7整除。

练习:尝试另另有一个其它的例子,比如[$p = 5, a = 4$],验证费马小定律是是不是成立。

*** 数学小贴士:

1) 除 (divide),商余数:另另有一个整数相除,有另另有一个为整数的商,和另另有一个余数。比如[$10/3 = 3, \,余1$]。朋友用另另有一个怪怪的的法子记录这人叙述:

$$10 \equiv 1 (mod\, 3)$$

都可不可以 只能写成另某种法子:

$$[10]_3 = [1]_3$$

这人表述法子与“10除以3,得3余1”可是的法子并没哪些地方地方区别。但采用标准的数学法子更容易和别人交流。

不可能 朋友知道:

$$[a]_n = [b]_n$$

这么 发生某个整数t,且:

$$a = nt + b$$

2) 整除 (divisible):当另另有一个整数a除以可是整数b,余数为0时,这么 朋友说a能只能被b整除。比如说,4能只能被2整除。即

$$[4]_2 = [0]_2$$

3) 质数 (prime number):另另有一个质数是只能被[$ \pm 1$]和这人数自身整除的整数(不包括[$ \pm 1$])。比如[$2,3,5,7,11,13$]等等。

******

费马是一名律师,也是一名业余数学家。他对数学贡献很大,堪称“业余数学家之王”。比如他和帕斯卡的通信是是不是概率论的开端。还有“费马大定理”,不可能 称为“费马猜想”。费马有在书边写注释的习惯。他在页边角写下了费马猜想,并说:

我发现了另另有一个美妙的证明,但不可能 空白太小而这么 写下来。

费马所有人的证明这么 再被发现。“费马猜想”的证明是100多年后,以现代数学为工具证得的,而哪些地方地方数学工具在费马的时代是不发生的。这原因现代的数学家怀疑费马是一定会 在吹牛。费马小定理是费马的可是定理。在费马那里,也还是个猜想。证明要等到欧拉。

系统tcp连接员们:注释要完全啊!

2. 欧拉定律

时间流过一百年。欧拉是18世纪的瑞典数学家。这位数学巨人写了75本数学专著,几乎把当时所有的数学领域都征服了一遍。欧拉然后被叶卡捷琳娜二世邀请到俄国。据说,无神论者狄徳罗造访俄国,他宣称上帝并不发生,靠雄辩击败了整个俄国宫廷。欧拉曾醉心神学,对上帝很虔诚。欧拉看不下去了,上前说,“先生,[$e^{i\pi} + 1= 0$],什么都有有有上帝发生。请回答!” 狄徳罗败给这人问题图片,灰溜溜的走了。

(这人传说的可信度不高,不可能 狄徳罗所有人也是一位颇有造诣的数学家。)

欧拉定理(Euler's theorem)是欧拉在证明费马小定理的过程中,发现的另另有一个适用性更广的定理。

首先定义另另有一个函数,叫做欧拉Phi函数,即[$\phi(n)$],其中,n是另另有一个正整数。

$$\phi(n) = 总数(从1到n-1,与n互质的整数)$$

比如5,这么 1,2,3,4,都与5互质。与5互质的数有另另有一个。[$\phi(5) = 4$]

再比如6,与1,5互质,与2,3,4并不互质。有刚刚,[$\phi(6) = 2$]

对于另另有一个质数p来说,它和1, 2, 3, ..., p - 1都互质,什么都有有有[$\phi(p) = p - 1$]。比如[$\phi(7) = 6, \phi(11) = 10$]

*** “互质”的数学小贴士:

1) 因子 (factor):每个整数都能只能写成质数相乘的形式,每个可是的质数称为该整数的另另有一个因子。

2) 互质 (relative prime):不可能 另另有一个整数这么 公共因子,这另另有一个质数互质。

******

欧拉定理叙述如下:

不可能 n是另另有一个正整数,a是任意另另有一个非0整数,且n和a互质。这么 ,[$a^{\phi(n)} - 1$]能只能被n整除。  (1)

不可能 质数p有[$\phi(p) = p - 1$]。有刚刚,从欧拉定理能只能推出费马小定理。朋友能只能只使用欧拉定理,把费马小定理抛到脑后了。朋友用另另有一个例子简单的检验欧拉定理。不可能 n是6,这么 [$\phi(6) = 2$]。让a是11,和6互质。[$11^2 - 1$]为120,着实能只能被n,也可是6整除,符合欧拉定理。

数学中还有另另有一个关于Phi函数的推论

m和n是互质的正整数。这么 ,[$\phi(mn) = \phi(m) \phi(n)$]        (2)

RSA西游记

下面朋友要进入实质的证明。除了后边的(1)和(2)推论,还需用提前说明另另有一个问题图片,即:

[$[ab]_n = [a]_n[b]_n$]        (3)

证明:假设a和b除以n的余数为[$c_1, c_2$]。a和b能只能写成[$a = nt_1 + c_1, b = nt_2 + c_2$]。这么 ,[$ab = n^2t_1t_2 + nt_1c_2 + nt_2c_1 + c_1c_2$]。有刚刚ab除以n的余数为[$c_1c_2$]。即[$[ab]_n = [a]_n[b]_n$]。

根据此能只能推论,[$[a^m]_n = [a]_n^m$]。

演一出叫做“西游记”的大戏,选角现在开始了了英文:

先选取另另有一个质数p和q,分别是沙和尚和白龙马。让[$n = pq$],n是唐僧。一路向西,唐僧靠的是沙和尚和白龙马出力:另另有一个背行李,另另有一个驮人。

而[$k = \phi(n) = (p - 1)(q - 1)$]。这里使用了(2)以及“质数p的Phi函数值为p-1”。k是八戒,也可是Phi(唐僧),可是唐僧的另另有一个跟屁虫。

选取任意d,并保证它与k互质。d是观音。观音姐姐在高老庄,真的是把八戒给“质”了一把。

取整数e,使得[$[de]_k = [1]_k$]。也可是说[$de = kt + 1$],t为某一整数。e是悟空,横行无忌。

朋友记得公开的用来上锁的另另有一个数字,它们分别是悟空e和唐僧n。悟空威力大,负责乘方。唐僧太唠叨:一切妖怪见到它,就变成了余数。悟空和唐僧商务公司合作 ,就把世界搞乱了。

总部的观音姐姐d看不下去了。观音姐姐威力也大,也是乘方。再逼着唐僧重新唠叨。世界就恢复了。

善哉,善哉!

朋友看一下这人魔幻大片“西游记”的现实主义原理。根据欧拉定理(1),对于任意z,不可能 z与n互质,这么 :

$$[z^{\phi(n)}]_n = [z^k]_n = [1]_n$$

有刚刚,

$$[z^{de}]_n = [z^{kt + 1}]_n = [(z^k)^tz]_n =  [z]_n$$

后边主要使用了[$de = kt + 1$]以及(3)。也可是说:

$$[z^{de}]_n = [z]_n$$

根据(3)的推论,有

$$([z^e]_n)^d = [z]_n$$

妖怪z,经过e和d的各一道,又变回了妖!后边过程中,悟空e和观音d忙得不亦乐乎,唐僧n就在一旁边唠叨边打酱油了。

这人等式,也正是朋友加密又解密的过程 (加密: 悟空次方 + 唐僧唠叨。解密: 观音次方 + 唐僧唠叨)。悟空和唐僧是公钥,扔出去亮相。观音是私钥,偷偷藏起来,必要的可是才出来。

(后边都默认余数是最小正余数,也可是说,10除以3的余数为1,而一定会 4。尽管4都可不可以 只能是是不是10的余数,即[$[4]_3 = [10]_3$]。)

姐姐,饶了我吧。

3和8另另有一个妖怪见到唐僧5,都被唠叨成了余数3。可是就观音姐姐就算法力无边,还是这么 还原。为了让唐僧求余的可是,不要 再把数字弄混了,RSA算法要求所有妖怪z小于唐僧n。为了对足够多的字符转码加密,n需用大过最大的妖怪。

但唐僧n大更重要的原因是要保护马仔。想破解,需用找到观音。回顾朋友选取角色的过程。朋友能只能可是破解:唐僧n是公开的,1) 先找到它的隐藏手下沙和尚和白龙马。2) 沙和尚和白龙马知道了,这么 二师兄k就保不住了。3) de = kt + 1,即找到另另有一个e,能只能让de - 1被k整除。观音姐姐就找到了。

后边的整个破解过程中,最困难的是第一步,即找到另另有一个隐藏的打手。通常,p和q一定会选的非常大,比如说100位。这原因唐僧n也非常大,有100位。寻找另另有一个100位数字的质数分解并不容易,朋友要做的除法运算次数大约为[$\sqrt{10^{100}}/2$]。这是[$10^{199}$]次除法运算!天河2号每秒浮点运是是不是[$10^{16}$]级别。这么 ,找到隐藏打手的工作,大约需用[$10^{174}$]年……。这人活,看来只能佛祖干了。

练习 不可能 唐僧不够大说说,马仔就危险了。想想可是的厨子,知道悟空是3,唐僧是10。隐藏打手是谁? 八戒呢? 观音呢?

总之,带头大哥不够“罩”说说,团伙就要被一窝端了。

总结

正如我在“数学与编程”中提到的,数学能只能是系统tcp连接员军火库蕴含力的武器。加密、解密这人事关IT安全的大课题,却和数论这人纯粹数人学科发生奇妙的关系。RSA算法的数学基础在于欧拉定理。这人诞生了几百年没哪些地方地方实用性的数学理论,却在网络时代,找到所有人的栖身之处。

RSA算法是非对称算法。公开的加密法子,私有的解密法子。RSA安全的关键在于这么对另另有一个大的整数进行因子分解。下一次,不可能 看得人RSA被破解相似的消息,卧底需用大喊一声:“不给力呀,老湿!”